24 Aug
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Andrew

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由相對論推論E=mc^2

當親朋戚友知道你主修物理的時候，多數都會問以下幾個問題：

  1. 讀物理？讀完出嚟可以做乜野呀？
  2. 嘩！咁你識唔識相對論呀？
  3. 咁你學左ｄ乜野呀？

當然還有為數不少的人還沒有分清楚物理跟物理治療有什麼分別。 大部分時間，當我心情不是太差的時候都會很用心去解釋給他們知道。但當問到「咁你學左ｄ乜野呀？」時就比較麻煩：因為這個很難跟外行人說明白。

為了脫身我多數會說：「我識得由相對論去証明E=mc^2，你有無紙同筆丫，我即刻就可以証明俾你睇．．．」實驗証明超過９０％的人打個哈哈之後就會轉到其他話題。當然其中總有一些不知好歹的會繼續追問，這時候以下的資料將會大派用場：

一個比較容易記往的方法就是由相對論質量跟隨速度增加的方程式開始：

m=\dfrac{m_o}{\sqrt{(1-v^2/c^2)}}

用Taylor series將(1-v^2/c^2)^{-1/2}化開：

m=m_o(1+\dfrac{1}{2}\dfrac{v^2}{c^2} + \dfrac{3}{8}\dfrac{v^4}{c^4} + … )

因為\dfrac{v^4}{c^4}的數值相對\dfrac{v^2}{c^2}小很多，所以：

m \approx m_o(1+\dfrac{1}{2}\dfrac{v^2}{c^2})

m \approx m_o+\dfrac{1}{2}m_ov^2(\dfrac{1}{c^2})

mc^2 \approx m_oc^2+\dfrac{1}{2}m_ov^2

mc^2 - m_oc^2\approx \dfrac{1}{2}m_ov^2

其中\dfrac{1}{2}m_ov^2是物件的動能(Kinetic Energy)所以上面這條方程式就可以解讀成：

物件移動時的能量 – 靜止時的能量 \approx 動能(KE)

所以：

E=mc^2

當然証明方法不大完整，因為我沒有証明m=\dfrac{m_o}{\sqrt{(1-v^2/c^2)}}從哪裡來，事實上當年教授証明這公式時就是反轉來從E=mc^2開始的，非常蠱惑！

如果可以從Conservation of Energy and Momentum開始就比較完整了，有興趣可以參考W.Pauli寫的Theory of Relativity。

延伸閱讀：
Wikipedia：E=mc2
Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy-Content?：愛因斯坦１９０５年有關E=mc^2的論文，全文只有三頁！

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